(a Exa)

v a g u e p r o p e r t i e s o f ' h o m o t o p i c a l e x a c t n e s s ' , a p p e a r i n g f o r i n s t a n c e i n t h e f i b r e o r c o f i b r e s e q u e n c e o f a m a p . S u c h n o t i o n s o f e x a c t n e s s c a n b e g i v e n f o r v e r y g e n e r a l ' c a t e g o r i e s w i t h h o m o t o p i e s ' h a v i n g h o m o t o p y k e r n e l s a n d c o k e r n e l s , b u t b e c o m e m o r e i n t e r e s t i n g u n d e r s u i t a b l e ' s t a b i l i t y ' h y p o t h e s e s , s a t i s f i e d – i n p a r t i c u l a r – b y c h a i n c o m p l e x e s . I t i s t h e n p o s s i b l e t o m e a s u r e t h e d e f a u l t o f h o m o t o p i c a l e x a c t n e s s o f a s e q u e n c e b y t h e h o m o t o p y t y p e o f a c e r t a i n o b j e c t , a s o r t o f ' h o m o t o p i c a l h o m o l o g y ' . M a t h e m a t i c s S u b j e c t C l a s s i f i c a t i o n s ( 2 0 0 0 ) : 5 5 U 3 5 , 1 8 G 5 5 , 1 8 D 0 5 , 5 5 P 0 5 , 5 5 R 0 5 , 5 5 U 1 5 . K e y w o r d s : H o m o t o p y t h e o r y , a b s t r a c t h o m o t o p y t h e o r y , 2 c a t e g o r i e s , c o f i b r a t i o n s , f i b r e s p a c e s , c h a i n